函数构造法导数经典题目（导数题目）

本文目录

• 导数题目
• 高中数学导数题目
• 导数中构造新函数题型及解法
• 证明1/（n+1）+1/（n+2）++1/（n+n）
• 高二导数，求解题思路，怎么构造新函数运用导数解题，谢谢

导数题目

1.函数y=1/√x的导数=(当△x-》0)lim（1/√（x+△x）-1/√x）/△x
=(当△x-》0)lim（√x-√（x+△x））/(△x√（x+△x）√x)
=(当△x-》0)lim{-1/}
=-1/(x(√x+√x))
=-1/(2x^(3/2))
=-x^(-3/2)/2
2.(1).y’=-(1/2)*cos(x/2)*(1-2（cos(x/4)^2))-sin(x/2)*(-2*2cos(x/4)*（-sin(x/4))*(1/4))
=-(1/2)*cos(x/2)*(1-2（cos(x/4)^2))-sin(x/2)*(cos(x/4)*sin(x/4))
=-(1/2)cos(x/2)+cos(x/2)*(cos(x/4)^2)-(1/2)*(sin(x/2)^2)
(2)y’= /(x^2+1)^2
= /(x^2+1)^2
(3)y’= - [ln2*2^x} + 0
= ln3*3^x*e^x + 3^x*e^x - ln2*2^x
3.f’(x)=asinx+(ax+b)cosx+c*cosx-(cx+d)sinx
=(a+d)sinx-cxsinx+axcosx+(b+c)cosx
恒等于xcosx=》a+d=0,c=0,a=1,b+c=0
a=1 b=0 c=0 d=-1
4.f(x)=x^3-3x
f’(x)=3x²-3，设切点为P(a,a³-3a)
则过P点的切线方程为
y=f’(a)(x-a)+a³-3a=3(a²-1)x-2a³
切线过A(0,16)
16=0-2a³，解得a=2
切线方程 y=9x-16
5.设,直线L的方程为Y=KX+b,
y=x^2,y=kx+b,
x^2-kx-b=0,直线L与C1、C2都相切，
⊿=0,即,
(-k)^2-4(-b)=0........(1),
y=-(x-2)^2,y=kx+b,
x^2+(k-2)x+4+b=0,
⊿=0,
(k-2)^2-4(4+b)=0.......(2),
联解(1),(2)式方程得,
k1=1+√7,b1=-(4+√7)/2,
k2=1-√7,b2=-(4-√7)/2.
则直线L的方程为:
Y=(1+√7)X-(4+√7)/2,或
Y=(1-√7)X-(4-√7)/2.
6.(1).求导,f(x)的导数为-3X^2+2aX
任意不同的两点间连线斜率都小于1即导数恒小于1
即为3X^2-2aX+1》0恒成立
则只需判别式=4a^2-12《0即可
即a^2《3,则-根号3《=a《=+根号3
(2).f(x)’=-3x^2+2ax=x(-3x+2a)
即求在（0，1）上绝对值恒小于1的充要。
过（0，0），（2a/3,0）
当0《2a/3《1
求出f(x)’顶点和f(0)’，f(1)’，三个同时在-1，1区间内，解不等式组；
当2a/3《=0
f(1)’的值在-1，1区间内，解不等式；
当1《=2a/3
f(0)’的值在-1，1区间内，解不等式；

高中数学导数题目

发一下原题
已知函数f（x）=x2+alnx-2（a＞0）
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞2（a-1）成立，试求实数a的取值范围；
（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，方程g（x）=0在区间上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）由f（x）=x2+alnx-2（a＞0），知f（x）的定义域为（0，+∞）．f′(x)=-2x2+ax，且知直线y=x+2的斜率为1．由此能求出f（x）的单调区间．
（ II） 由f′(x)=-2x2+ax=ax-2x2，推导出当x=2a时，函数f（x）取得最小值，ymin=f(2a)．因为对任意的x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，所以f(2a)＞2(a-1)即可．由此能求出a的取值范围．
（ III）依题意得g(x)=2x+lnx+x-2-b，则g′(x)=x2+x-2x2．由此能推导出b的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x2+alnx-2（a＞0），
∴函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
∵f′(x)=-2x2+ax，且知直线y=x+2的斜率为1．
∴f′(1)=-212+a1=-1，解得a=1．
∴f(x)=2x+lnx-2.f′(x)=x-2x2．
由f’（x）＞0，解得x＞2；由f’（x）＜0，解得0＜x＜2．
所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）
（ II） f′(x)=-2x2+ax=ax-2x2．
由f’（x）＞0，解得x＞2a；由f’（x）＜0解得0＜x＜2a．
所以f（x）在区间(2a，+∞)上单调递增，在区间(0，2a)上单调递减．
所以当x=2a时，函数f（x）取得最小值，ymin=f(2a)．
因为对任意的x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，
所以f(2a)＞2(a-1)即可．
∴22a+aln2a-2＞2(a-1)．即aln2a＞a，解得0＜a＜2e．
所以a的取值范围是(0，2e)．
（ III）依题意得g(x)=2x+lnx+x-2-b，则g′(x)=x2+x-2x2．
由g’（x）＞0解得x＞1；由g’（x）＜0解得0＜x＜1．
所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又因为方程g（x）=0在区间上有两个不同的实根，
所以g(e-1)≥0g(e)≥0g(1)＜0，
解得1＜b≤2e+e-1．
所以b的取值范围是(1，2e+e-1]．
点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查推理论证能力，考查等价转化思想，考查分类讨论思想，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

导数中构造新函数题型及解法

导数中构造新函数题型及解法如下：网页链接

导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f’（x0）或df（x0）/dx。

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f（x），x↦f’（x）也是一个函数，称作f（x）的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以反过来求原来的函数，即不定积分。

微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

证明1/（n+1）+1/（n+2）++1/（n+n）

可用导数证明: 对x 》 0, ln(1+x) 》 x/(1+x).
因此ln(k+1)-ln(k) = ln(1+1/k) 》 (1/k)/(1+1/k) = 1/(k+1).
对k = n, n+1,..., 2n-1将上式求和即得1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n) 《 ln(2n)-ln(n) = ln(2).

高二导数，求解题思路，怎么构造新函数运用导数解题，谢谢

f(x)=lnx
f’(x)=1/x
存在x0∈(m,n)
使f’(x0)=/(m-n)
f’’(x)=-1/x^2《0
f’(x)为减函数
f(x)为凸函数
x
x0《(m+n)/2
f’(x0)》f’