如何学好初三数学一元二次方程（初三年级奥数知识点：认识一元二次方程）

本文目录

• 初三年级奥数知识点：认识一元二次方程
• 初三数学：一元二次方程该怎么学
• 怎样学习一元二次方程
• 九年级一元二次方程怎么学
• 初三数学的一元二次方程怎样学习
• 为什么说一元二次方程是学好二次函数的基础，该怎么学
• 怎样更好学习一元二次方程
• 学习一元二次方程的好方法，和二次根式

初三年级奥数知识点：认识一元二次方程

【 #初中奥数# 导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。奥数对青少年的脑力锻炼有着一定的作用，可以通过奥数对思维和逻辑进行锻炼，对学生起到的并不仅仅是数学方面的作用，通常比普通数学要深奥一些。下面是 为大家带来的初三年级奥数知识点：认识一元二次方程，欢迎大家阅读。

（一）列一元一次方程解应用题得方法步骤

列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的拓展，两者的解题方法类似,但由于一元二次方程有两个实数解，所以要注意检验得出的方程的解是否符合实际意义.

其步骤如下：

(1)审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系.

(2)设：选用适当的方式设未知数(直接设未知数或间接设未知数)，不要漏写单位，用含未知数的代数式表示题目中涉及的量.

(3)列：根据题目中的等量关系，用含未知数的代数式表示其他未知数，列出含未知数的等式.注意等号两边量的单位必须一致.

(4)解：解所列方程，求出未知数的值.

(5)验：一是检验得到的未知数的值是否为方程的解，二是检验方程的解是否符合题意.

(6)答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位.

(二)主要题型

列一元二次方程解应用题在日常生活、生产、科技等方面有着广泛的应用，如增长率(降低率)问题、利息问题、数字问题、利润问题、动点问题等.

方法技巧

（一）增长率（降低率）问题的解题方法

(1)增长量=原产量×增长率;(2)增产后的产量=原产量×(1+增长率).

点拨

增长率问题：若设基数为 ，平均增长率为 ，则增长 次后的值为 .

（二）利息问题的解题方法

解答此类问题的关键是理解实际生活中的一些概念，如本金、利率、利息等.

注意

对于存款利息问题，解题时一定要注意每次增长的基础量是否相同.

习题

1.一元二次方程的一般形式是( )

A.x2+bx+c=0

B.ax2+c=0(a≠0)

C.ax2+bx+c=0

D.ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，且a≠0)

2.方程2x2-7x=5的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )

A.7，2，5 B.2，-7，5

C.2，-7，-5 D.2，7，5

3.若方程(m+2)x2-3x-1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )

A.m》-2 B.m

初三数学：一元二次方程该怎么学

不要担心这个，老是一般都会教一般常规方法和快捷方法，要想真的学好一元二次方程，我的经验是一步步来，先用常规方法大量的联系，做到一定的程度后你自然能发现要点，就明白了为什么会有快捷方法了，这样你以后用快捷方法解题也就知道了为什么可以这么快~

怎样学习一元二次方程

怎样学习一元二次方程如下：

基本的代数知识： 在学习一元二次方程之前，你需要熟悉代数的基础知识，包括加法、减法、乘法和除法，以及如何使用字母表示未知数。

线性方程： 了解如何解决一元一次方程（线性方程）是学习二次方程的基础。这包括使用逆运算，如加法逆元素和乘法逆元素，来解决方程。

因式分解： 因式分解是解二次方程的关键技巧之一。你需要了解如何将二次方程转化为可因式分解的形式，以便更容易地找到方程的解。

平方根： 学习如何计算平方根是解二次方程的一部分。你需要知道正平方根和负平方根的概念，并掌握如何使用它们来解决方程。

二次项系数不为零： 在学习一元二次方程时，确保二次项系数（x^2前的系数）不为零是非常重要的。如果二次项系数为零，方程就变成了一元一次方程，不再是二次方程。

图像与抛物线： 了解一元二次方程的图像是解决问题的一种有用方式。你需要了解抛物线的基本形状、顶点、焦点等概念，以便更好地理解方程的解。

配方法： 学习如何使用配方法（也称为“完成平方”）来解决一元二次方程。这是一种将方程转化为平方的方法，从而更容易找到解。

判别式： 了解判别式的概念及其与方程根的关系。判别式可以帮助你确定方程的根的性质，包括是否有实数根，重根还是复数根。

方程的应用： 学习一元二次方程的应用，如物理问题中的自由落体运动、几何问题中的面积计算等。这将帮助你将数学知识应用到实际生活中。

九年级一元二次方程怎么学

解一元二次方程步骤最简单的是用因式分解法解方程；理解最简单的是公式法。

直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n。

还可以按照当初学分解因式的方法来，先把式子分解，在解方程。以上办法都不行，就用公式法，也就是2a/-b±根号下b方-4ac。 还有一种办法，把这个一元二次方程的抛物线画出来，然后看与X轴交点。

成立条件

一元二次方程成立必须同时满足三个条件：

①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。

②只含有一个未知数。

③未知数项的最高次数是2。

初三数学的一元二次方程怎样学习

“一元二次方程”学习要点

一、本章知识结构
1、知识结构梳理
2、定理公式总结
(1)一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)
(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：
(3)一元二次方程的根的判别式：△=b2-4ac 。

* 原载于《教材全程全解同步精讲精练》(初三代数全一册)，中国少年儿童出版社, 2004年5月。

(4)一元二次方程的根的判别式定理：
△＞0方程有两个不相等的实数根；
△＝0方程有两个相等的实数根；
△＜0方程没有实数根；
△≥0方程有两个实数根。
(5)一元二次方程根与系数的关系定理：
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那么
x1+x2=
推论1：如果方程x2+px+q=0的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q.
推论2：以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2-( x1+x2)x+ x1x2=0
(6)二次三项式因式分解公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。其中x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根。
(7)求一元二次方程两根x1，x2的对称式的值，常用公式：
①x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2；
②(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
二、数学规律总结
1、我们已学过的方程和方程组有整式方程（一元一次方程，一元二次方程）、分式方程，二元一次方程组，二元二次方程组，它们都属于代数方程中的有理方程。
在我们学过的方程中，一元一次方程和一元二次方程是解方程（组）的最基本的知识和技能。熟练地解一元一次方程和一元二次方程是解代数方程（组）的关键和前提，因此，我们必须将这部分知识扎实地学好。
2、本章介绍了一元二次方程的四种解法——直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。其中公式法对于任何一个一元二次方程都适用，是解一元二次方程的通法，掌握用公式法求一元二次方程根的方法，关键是要正确理解公式的具体推导过程（即配方法），充分认识该知识的产生过程和来龙去脉，然后要牢固记住公式的形式、结构和内涵，用公式求方程的根时，就是运用二次根式的有关知识求两个二次根式的值。但是，在解一元二次方程时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法，以使解题过程简便。
一般地，一元二次方程解法的选择顺序是：先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法，配方法是推导求根公式的工具，掌握公式法之后，就可以直接用公式法解一元二次方程了。因此，解一元二次方程一般不用配方法（除题目中要求用配方法解方程外），但配方法除了用于推导一元二次方程的求根公式以外，在学习其他数学内容时，也有广泛的应用，因此配方法是一种很重要的数学方法，我们一定要正确理解配方的意图，掌握配方的方法，把这部分知识学好学活。
3、二次三项式ax2+bx+c在实数范围能够分解的条件
b2-4ac≥0
4、一元二次方程ax2+bx+c=0有实根的条件b2-4ac≥0
三、思想方法总结
1、转化思想
在本章中，“转化”思想象一条红线贯穿于始终。解一元二次方程需转化为一元一次方程；解分式方程需转化为整式方程；解二元二次方程组需转化为二元一次方程组或一元二次方程。在实数范围内二次三项式的因式分解，需将之转化成解对应的一元二次方程的问题来解决，此外方程中字母系数的确定也是通过转化为解方程问题而解决的。具体转化过程及转化方法如下图所示：
因式分解 降次
去分母 整式化

代入法 消元
因式分解 降次
转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，我们在解数学题时，常常运用转化思想，将复杂问题转化成简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题。
2、方程思想
在解数学计算时，往往通过已知和未知的联系，建立起方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知量的数值，从而使问题得以解决，这种通过列方程沟通已知和未知联系的数学思想，通常称为方程思想。
方程思想在本章主要体现在列方程(组)解应用题、利用判别式和韦达定理确定一元二次方程中待定系数(字母系数)、二次三项式的因式分解、利用根与系数关系解形如的“Ⅱ—Ⅰ”型方程组等。
3、公式化与分类讨论的思想
在数学中，对那些有规律可循“成型的”数学问题，我们总

希望找到一个公式，在解题时，只要把已知数代进去，就可以求出问题的结果(结论)，从而达到准确、高速解决该“模块”的目的。如圆面积公式，梯形面积公式，由时间和速度求距离的公式S=Vt等等，在这个思想指导下，我们通过配方，求出了一元二次方程的求根公式x= 。
可是，在我们的公式中，有一个二次根式，它的被开方数为△=b2-4ac，当△≥0时，根式有意义，公式才能成立，才能应用；那么，当△＜0时，公式就不能用了。这时，说明什么问题？方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有根吗？不能这样说，因为公式的推导过程已经表明，只有在△≥0时，才能得到求根公式，也就是说，只有△≥0时，才可用求根公式法解一元二次方程，求出实数根。若△＜0时，不能用公式求实数根，也许可以用别的方法求出来。这就提出了一个问题：能否在不解方程的情况下，判断方程是否有实数根？通过仔细分析配方过程，终于弄清了“△”对判别一元二次方程实数根的作用：
对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)来说，记△=b2-4ac，那么：
(1)若△＞0，则方程有不相等的实数根；
(2)若△=0，则方程有两个相等的实数根；
(3)若△＜0，则方程没有实数根。
反之亦然
由于△＞0，△=0，△＜0，是对△值的完全的分类，它同方程有不等实根，有相等实根和没有实根(也是对方程根的情况是完全分类)三种情况一一对应，这就为分类讨论打下了基础。此外，我们在遇有含有字母的方程时，我们要对字母系数分情况进行讨论，再根据各情形的知识进行研究探索、求解等等。(前面已举例)
分类讨论是数学中重要的思想方法，我们一定要注意体会该思想方法，积累自己的数学素养。
⑷本章所应用的数学方法主要有：①代入消元法；②因式分解降次法；③换元法；④配方法。
代入消元法和分解降次法主要体现在解二元二次方程组；换元法主要体现在解可化为一元二次方程的分式方程和二次三项式的因式分解；配方法主要体现在利用配方法解一元二次方程、一元二次方程的求根公式的推导、一元二次方程根的判别式的应用、一元二次方程根与系数的关系的应用等。
四、解题方法指导
1、观察与分析的思维方法
“观察”和“分析”是解数学题中广泛使用的基本思维方式，无论是解一元二次方程，分式方程及二元二次方程组，都离不开深入地观察和分析。
(1)解一元二次方程的观察和分析
①解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，应选用直接开平方法，先根据平方根意义得x-m=±，再移项，得方程的根为x1=m+ , x2=m- .
②解形如(x-m)(x-n)=0的方程，可根据“几个因式的积为零，那么这几个因式中至少有一个因式为零”的情况，则可能化为x+m=0或x-n=0得到方程的根为x1=m, x2=n 。
③除了上述两种形式的非一般式的一元二次方程，一般应先化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)后再解，对于容易分解的，用因式分解法解，对于不易因式分解的，再用公式法解。
例如 选用适当的方法解下列方程
⑴(x+2)2=4 , ⑵3(x+1)(-x)=0 , ⑶3x(x-)=1 , ⑷2x2+3x(1-x)+2=0.
分析：通过对提供的方程进行观察和分析易得到下述结论：⑴用直接开平方法较简单；⑵是两个因式的积为0，可直接写出x1=-1 , x2=；⑶将之化为一般形式为3x2-2x-1=0，则可用因式分解法解较简单；⑷化为一般形式为x2-3x-2=0，因不易分解、故可用公式法解较合适。
(2)解分式方程的观察与分析
“转化”是解分式方程以及高次方程等比较复杂的方程基本思想。那么，如何实现转化呢？这就要求我们根据提供的分式方程的式结构进行观察和分析，寻求出比较恰当的求解方法。
将分式方程转化为整式方程的方法是“去分母法”，实施这一方法的操作流程是将原方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。但是，经过转化后的方程有时会是一个高次方程，到目前为止，我们还没有找到解高次方程的一般方法，因此，可根据分式方程的“式结构”特征，选用特殊的解法——换元法。在使用换元法解分式方程时，要注意有些方程换元的特征比较明显，有些却不明显，需要做适当的变形，方可显露出换元的特征，如下列方程：
⑴ ⑵
⑶ ⑷2(x2+)-9(x+)+14=0
分析：上述方程中，⑴和⑵具备直接换元的条件，其中⑴设y=可转化为y2-y-2=0；⑵设 y=，可转化为y+；

⑶要将方程中3x2+9x转化为3(x2+3x)，设y=x2+3x，则原方程可变为3y-；⑷要注意把握x2+与x+的关系，若设y=x+，则y2=x2+，∴x2+，则原方程变为：2(y2-2)+y+14=0.
(3)解二元二次方程组的观察与分析
我们所学习的二元二次方程组可分为两种类型：第一类型即“Ⅱ—Ⅰ”型，指的是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，这类方程组的一般解法是“代入消元法”，第二类型即“Ⅱ—Ⅱ”型，指的是由两个二元二次方程组成的方程组，这类方程组的一般解法是“分解降次法”，通过分解降次，可将第二类型转化为第一类型，再用代入消元法来解。因此，我们在解二元二次方程组时，一定要认真观察和分析方程组中每个方程的类型和特征，采用“对症下药”的解题策略，寻求最适宜的求解方法。例如下列方程组：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
分析：⑴属“Ⅱ—Ⅰ”自然用代入消元法来解；⑵属“Ⅱ—Ⅰ”则可用代入消元法来解，但是⑵中的第1个方程可进行因式分解，则又可用“分解降次”法来解(要注意“Ⅱ—Ⅰ”型有时也可用“分解降次”法来求解；⑶属“Ⅱ—Ⅱ”型，则可用“分解降次”，当然也可用两边开平方法将之“裂变”为四个二元一次方程组来解；⑷属“Ⅱ—Ⅱ”型，但只有第一个方程能用因式分解，则只可用“分解降次”法，将之“裂变”为两个“Ⅱ—Ⅰ”来解。

2、分析与构造的思维方法
对于形如 的方程组，可用“韦达定理法”来解，即把x、y看作一元二次方程z2-az+b=0的两个根，解这个一元二次方程就可求得方程组的解。其策略是根据“式结构”巧妙地构造出一个一元二次方程，然后通过解这个一元二次方程的方法达到解方程组的目的。
利用韦达定理解某些具有上述特殊形式的二元二次方程组，能够使问题化难为易，化繁为简，观察下列方程组：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
这些方程组都可以用韦达定理法求解，有的可直接构造方程，有的需要做适当的变形后，再构造出一元二次方程。
如，方程组⑴可直接构造以x、y为根的一元二次方程z2-7z+12=0；方程组⑵先变形为 然后构造出以x和-y为根的一元二次方程z2-11z+18=0；方程组⑶，先变形为再构造以x、y为根的方程z2-17z+60=0；方程组⑷，先变形为 再构造以x2、y2 为根的方程z2-5z+4=0,或者变形为或然后分别构造以x、y为根的方程z2-3z+2=0.或z2+3z+2=0.
3、分析与综合的思维方法
“分析”和“综合”是两种基本的思维方法，在数学中有着特别重要的作用。
“分析”就是把事物的整体分解成若干个组成部分，并对各个部分分别进行考察；“综合”就是把事物的各个部分联结成一个整体，并从整体上加以研究，“先分析后综合”这是人们认识事物的一条基本途径，也是解数学题的一种常用的手段。
数学综合题，可以看成是由几个互联相关的“小题目”组成的一个“大题目”。解数学综合题时，应当先对综合题进行“分析”——把它分解成几个互相关联的“小题目”，并逐一解答这些“小题目”，再把“分析”所得的结果“综合”起来，从而求得综合题的答案。例如：(2003·济南中考)已知方程组 的两个解为且x1,x2是两个不相等的正数。⑴求a的取值范围;(2)若x12+x22-3x1x2=8a2-6a-11，求a的值。
分析：这是一道既涉及到方程组，又涉及到一元二次方程根的判别式，根与系数关系的综合题，它可以分解成如下3个“小题目”：
⑴方程组可转化为一个什么样的一元二次方程？
⑵若x1，x2为转化成的一元二次方程的两根，且x1≠x2，求待定参数a的范围；
⑶若x1，x2为转化为一元二次方程的两根，且 x12+x22-3x1x2=8a2-6a-11，求待定参数a的值。
从上例可以看出，解数学综合题的过程，通常也是一个“先分析后综合”的过程。
五、综合题例分析
例1 (2003·北京市中考题)已知：关于x的方程x2-2mx+3m=0的两个实数根是x1,x2,且(x1-x2)2=16,如果关于x的另一个方程x2-2mx+6m-9=0的两个实数根都在x1和x2之间，求m的值。
分析：首先根据x2-2mx+3m=0的两根x1，x2满足(x1-x2)2=16的条件，将参数m的值求出 ,然后根据m的值，将两方程的根分别求出来，最后作出判断。
∵x1， x2是方程x2-2mx+3m=0的两个实数根，
∴x1+x2=2m，x1·x2=3m
∵(x1-x2)2=16 ∴(x1+x2)2-4x1x2=16
∴4m2-12m=16解得m1=-1,m2=4
⑴当m=-1时，
方程x2-2mx+3m=0为x2+2x-3=0，则x1=-3，x2=1，
方程x2-2mx+6m-9=0为x2+2x-15=0，则x1= -5,x2=3
∵-5，3不在-3和1之间 ∴m=-1不合题意，舍去。
⑵当m=4时，方程x2-2mx+3m=0为x2-8x+12=0
则x1=2，x2=6
方程x2-2mx+6m-9=0为x2-8x+15=0
则x1’=3 x2’=5
∵2＜3＜5＜6
即x1＜x1’＜x2’＜x2 ∴m=4 满足题意
综合(1)和(2)，m=4
本题事实上就是根据题中给出的一个条件，运用根与系数的关系，求参数值的问题，不过本题已将该题型拓展延伸为判断两个方程根的大小范围问题了。因此，我们在审题中，一定要有“慧眼识真金”的本领，善于将提供的“新”问题，通过
分析、类比、综合等思维方式，转化到我们已经会解决的“老”问题上来。
例2 已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-)=0
（1）求证：无论k取什么实数时，这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另外两边的长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。
（1）要证一个一元二次方程有两个实根，只需要证明判别式△≥0即可；（2）有关等腰三角形问题，若未指明腰和底边时，要进行讨论，因此，本题对a是等腰三角形的底边还是等腰三角形的一腰要进行分类讨论。
2-4×4(k-)
=(2k-3)2
∵不论k取何值时，(2k-3)2≥0，即△≥0。
∴不论k取何值时，这个方程有两个实数根
⑵①当a是等腰三角形底边时，这时b、c即为等腰三角形两腰，则b=c
∴方程有两个相等的实数根。
则△=(2k-3)2=0 k=
原方程即为x2-4x+4=0 . b=c=2
当b=c=2时，b+c=2+2=4=a 这与“三角形中两边之和大于第三边”相矛盾，故a不可能是此等腰三角形的底边
②当a是等腰三角形的腰时，这时，b、c中至少有一个值为4，把x=4代入原方程中，16-4(2k+1)+4(k-)=0 k=，则原方程为x2-6x+8=0 两根为x1=2，x2=4，即b、c两边一边为2，另
一边为4，符合三角形三边之周关系，这时△ABC的周长为a+b+c=4+(2+4)=10

⑴要判断二次三项式的值的正负性，通常采用配方法，利用完全平方式的非负性来确定。
⑵由于本题中的a、b、c的值是三角形三边的长，必须满面足“两边之和大于第三边”否则就不能构成三角形的三边。
⑶在遇有等腰三角形的问题时，若未指明谁是腰，谁是底边时，一般要用分类讨论法解决问题。
例3 已知关于x的一元二次方程x2+2px-p2-1=0的两个实数根为x1，x2.
⑴若此方程的两根之和不大于两根之积，求p的值。
⑵若p=-1，求x13+2x22+2x2的值。
⑴利用根与系数关系建立关于p的不等式，由完全平方式的非负性，求出p的值。注意，最后一定要注意判别式的值为非负数。
⑵首先利用根的定义，对x13进行降次处理，把所求代数式转化成关于两根对称式的代数式，再利用根与系数的关系求出值来。
⑴∵x1，x2为方程两根
∴x1+x2=-2p x1·x2=-p2-1
据题意，得x1+x2≤x1x2
即-2p≤-p2-1
∴p2-2p+1≤0
(p-1)2≤0 ，则p=1
当p=1时，原方程为x2+2x-2=0 △=12＞0
∴所求p的值为1.
⑵当p=-1时，方程x2+2px-p2-1=0。为x2-2x-2=0，x1、x2为方程两负数根。
由方程根的意义有：x12-2x1-2=0 即x12=2x1+2
由根与系数关系有：x1+x2=2, x1·x2=-2
则x13+2x22+2x2=x1·x12+2x22+2x2
=x1(2x1+2)+2x22+2x2
=2x21+2x1+2x22+2x2
=2(x12+x22+x1+x2)
=2
=2×(4+4+2)
=20
求关于一元二次方程的两根的代数式的值，如果代数式是关于两根的对称式，先把这个代数式通过变形化成两根之和及两根之积的形式，再把由根与系数的关系所得的两根之和及两根之积的值代入即可；如果代数式不是两根的对称式，则由根的定义，通过对其中的次数为二次或二次以上的根用代入法进行降次，直到化为两根的对称式为止。一句话，就是用根的定义，将非轮换对称式转化成换对称式来解决，这也体现了“转化与化解”的数学思想方法。
例4 已知a、b、c是△ABC的三边，a、b的值是方程x2-(4+c)x+4c+8=0的两个实根，且满足25asinA=9c
(1)求证△ABC是直角三角形；
(2)求a、b、c三边的长。
(1)题中只给出了a、b的长是已知方程的两根。因此，根据根与系数的关系，通过探求出三角形三边a、b、c的关系，故可运用勾股定理的逆定理来证明△ABC为直角三角形。
(2)在(1)已证明了△ABC为直角三角形的前提下，则SinA只可以用三角函数来表示边间的关系，根据边间关系及根与系数的关系，可求出a、b、c的值。
(1)∵a、b是方程x2-(4+c)x+4c+8=0的两根
∴a+b=4+c ab=4C+8
∵a2+b2=(a+b)2-2ab=(4+c)2-2(4c+8)=c2
即 a2+b2=c2 ∴△ABC为直角三角形
(2)∵25aSinA=9c 且SinA=
∴25a·=9c ， =
设a=3k c=5k，则b=
将a=3k ， b=4k ， c=5k代入a+b=4+ck
3k+4k=4+5k ∴k=2
∴a=6 ， b=8 ， c=10。
(1)确定一个三角形为直角三角形一般从边和角这两个方面去判断，本题由于没有提供角的关系，虽然提供了三角函数，但三角函数关系式也只能在直角三角形中使用(本题本身就是要我们证明此三角形为直角三角形)，故本题若选择从角的方面来判断该三角形是行不通的，而本题已知边与方程根的关系，若运用根与系数的关系式，故可从边的角度来判断该三角形为直角三角形。
(2)在直角三角形中，要注意用三角函数把问题转化成纯边(或纯角)的关系式来解决问题，本题(2)要求的是三角形的三边，则我们可以通过三角函数的关系式，将问题转化纯边来解决。在解题过程中，遇有边边之比的问题，则可引进比例系数k这个参
数，要求三边，则即求比例系数k。
例5 若a、b是实数，关于x的方程|x2+ax+b|=2有三个不相等的实根。
(1)求证：a2-4b-8=0
(2)若该方程三个不相等实根恰好为一个三角形内角的度数， 求证该三角形必有一内角是60°。
(3)若该方程三个根恰为一直角三角形三边，求a、b。
(1)由绝对值概念可得两个一元二次方程，有三个不相等的实数根，说明得到的两个方程中其中有一个方程有两个相等的实数根，或得到的两个方程中，必有一个公共的实根。
(2)由三角形内角之和为180°和根与系数的关系可求得必有一根为60。
(3)先判断出直角三角形的斜边是第哪一个方程的根，再由勾股定理建立方程来求解。
(1)证明：∵|x2+ax+b|=2
∴x2+ax+b-2=0 ① x2+ax+b+2=0 ②
显然方程①和②不可能有一公根，则方程①和②必有一个方程有两个相等的实数根。
△1=a2-4b+8 △2=a2-4b-8
∵△1＞△2 ∴△2=0
即a2-4b-8=0
(2)设方程①的两根为x 1，x2，则x 1+x2=-a， x 1·x2=b-2 设方程②的两根为x3，x3则x3+x3=-a
∴x3=- ∵x1+x2+x3=180° ∴-a+(-)=180°
即x3=60
∴这个三角形中必有一个内角为60°
(3)∵x1+x2=2x3=-a
∴方程①的两根中有一根为直角三角形的斜边,设其为x1.
根据题意，得x12-x22=x32，
(x1+x2)(x1-x2)=x32，
4(x1+x2)=-a，
16(a2-4b+8)=a2，
∴
解得
∵x3=-＞0 ∴a＜0 则a=-16 ， b=62
(1)本题是一道综合性技巧性较强的综合题，解决之要用到绝对值，根的判别式定理，根与系数的关系，三角形的内角和，勾股定理，转化的思想，方程的思想及变换命题等数学知识。题中还多处运用了变换技巧，我们要从中吸取精华，拓展自已的解题思路，提高自已的解题能力。
(2)本题中的两个字母a、b并不是三角形的边，这一点在解题中要牢牢记住。
例6 (1998年江苏省徐州市中考题)一辆三轮摩托车在一条笔直的道路上行驶，车上一位运动员每隔一定时间开枪射靶一次，道路中间站着一位裁判，当摩托车向他驶来时，听见每两次相邻射击相隔5.7s，而当摩托车驶过他身边以后，听见每两次相邻射击相隔6.3s，如果声速为350m/s，那么车上运动员每隔几秒射击一次？摩托车的速度是多少米每秒？
这是一道行程问题，问题涉及到行程的两个方面，一是摩托车向裁判员驶来时，时间的变化关系；二是摩托车驶过裁判员身后，相邻两次射击声音的变化关系，搞清了这两个关系，解决本题就不是难事了。
设运动员每隔xs射击一次，摩托车的速度是ym/s，依题意得
①+②得2x=12，
∴x=6.
把x=6代入①得y=17.5，
∴
答：车上运动员每隔6s射击一次，摩托车的速度是17.5m/s.
此为实际应用型的二元二次方程组，难点在理解题意列出方程组，摩托车向裁判驶来时，相邻两次射击的声音传播后一次比前一次近xym，所以少用，当摩托车驶过裁判身边后，相邻两次射击的声音后一次比前一次远xym，所以多用裁判才能听到。此题与物理中声音的传播结合，称得上是一道好题。

“一元二次方程”学习要点

一、本章知识结构
1、知识结构梳理
2、定理公式总结
(1)一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)
(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：
(3)一元二次方程的根的判别式：△=b2-4ac 。

为什么说一元二次方程是学好二次函数的基础，该怎么学

一元二次方程作为初中数学代数里重要内容之一，在中考数学中一直占有重要的地位。如中考数学会考查一元二次方程及其相关概念、一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法），运用一元二次方程去解决实际生活当中的问题等应用题，这些都是中考的常考考点。

同时，我们也要充分认识到，学好一元二次方程，可以为以后学好一元二次不等式、指数方程、对数方程、三角方程、函数、二次曲线等内容打下一个坚实的基础。

二次函数就是最直接的例子，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)就是二次函数y=ax2+bx+c(a0)，当y=0时的特殊情况。要想学好一元二次方程，首先要学好这些基础知识内容，如实数与代数式的基本运算、一元一次方程等。

什么是一元二次方程呢？

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

中考数学，一元二次方程，典型例题分析1：

已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x220，求m的取值范围．

解：（1）根据题意得=（﹣6）2﹣4（2m+1）0，

解得m4；

（2）根据题意得x1+x2=6，x1x2=2m+1，

而2x1x2+x1+x220，

所以2（2m+1）+620，解得m3，

而m4，

所以m的范围为3m4．

题干分析：

（1）根据判别式的意义得到=（﹣6）2﹣4（2m+1）0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x220得到2（2m+1）+620，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．

解题反思：

本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=﹣b/a，x1x2=c/a，也考查了根与系数的关系。

熟记一元二次方程的解法：

1、直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如（x+a）2=b的一元二次方程。

2、配方法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式a22ab+b2=（ab）2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x22xb+b2=（xb）2。

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

四种解法又各有特点，其基本思想是降次，只有准确把握，解方程时才会得心应手。值得注意：公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）当方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。

中考数学，一元二次方程，典型例题分析2：

已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+x1x2，求实数m的值．

解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，

0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）0，

m﹣1/12；

（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，

x12+x22=31+x1x2，

（x1+x2）2﹣2x1x2=31+x1x2，

即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，

解得m=2，m=﹣14（舍去），

m=2．

考点分析：

根的判别式；根与系数的关系．

题干分析：

（1）根据根的判别式的意义得到0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）0，解不等式即可；

（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，再变形已知条件得到（x1+x2）2﹣4x1x2=31+x1x2，代入即可得到结果．

解题反思：

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b2﹣4ac：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根。

本题也考查了一元二次方程根与系数的关系。

一元二次方程根与系数的关系：

如果方程ax2+bx+c=0（a0）的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=﹣b/a，x1x2=c/a。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

值得注意：在实数范围内，利用一元二次方程根与系数的关系解题，必须注意b2-4ac﹥0的限制条件。

一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）中，b2﹣4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式，通常用“”来表示，即=b2﹣4ac.

当＞0，方程有两个不相等的实数根；

当=0，方程有两个相等的实数根；

当＜0，方程没有实数根。

通过解一元二次方程，运用一元二次方程解应用题等，在这些解题的过程中，我们要学会转化等数学思想方法的运用。

直白地讲，学好一元二次方程相关概念以及解法，是学好一元二次方程的前提条件。要想在实际生活问题中提炼一元二次方程，运用一元二次方程去解决实际问题，那么大家就必须学好转化思想方法。

中考数学，一元二次方程，典型例题分析3：

某地2017年为做好“精准扶贫”，授入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2019年在2017年的基础上增加投入资金1600万元．

（1）从2017年到2019年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

（2）在2019年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？

解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，

得：1280（1+x）2=1280+1600，

解得：x=0.5或x=﹣2.25（舍），

答：从2017年到2019年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；

（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，

得：10008400+（a﹣1000）54005000000，

解得：a1900，

答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．

考点分析：

一元二次方程的应用．

题干分析：

（1）设年平均增长率为x，根据：2017年投入资金（1+增长率）2=2019年投入资金，列出方程组求解可得；

（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据：前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和500万，列不等式求解可得。

中考数学，一元二次方程，典型例题分析4：

青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．

（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？

（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．

考点分析：

一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．

题干分析：

（1）分别利用投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车以及投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车进而得出等式求出答案；

（2）利用2016年配置720辆公共自行车，结合增长率为x，进而表示出2018年配置公共自行车数量，得出等式求出答案。

随着新课改的不断深入，现在的中考越来越考查考生的综合能力，如应用数学知识去解决具体的问题等。在平时的学习过程中，我们要结合一元二次方程的知识结构和具体问题，列出知识网络图，主动去探索发现问题，由特殊到一般地提出问题，不断提高思维能力，优化学习方式，掌握相应的解题方法，多动手、动脑、动口，肯定能学好一元二次方程

怎样更好学习一元二次方程

1、学数学和学其他课一样,上课要注意听讲,上课或下课要预习和复习,把每个知识点学透彻.但各门课程都有不同点：比如语文课今天我没上，明天上完课再补也可以，而数学是一环套一环的，比如：学小数加减混合运算，如果不先学小数加法和减法就不会，所以每个知识点一定要学透彻。
2、同学们最怕考试做错题，做错了就要分析，总结。我总结了一下丢分的四种情况：一种是会做，但粗心，做错了。第二种是一时想不出怎么做，事后就会做了。第三种是时间不够，多给一点时间思考，也许就会做了。第四种是绝对做不出来，让你坐在那里一万年，你也做不出来。解决方法有这样几点：一，今后要细心，千万要细心。二，今后要多做多练，所谓“熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟”。三，要会用时间！要快！但是，快，容易出错！怎么才能快？只有一条路：多练！第四种最可怕！这里面有两种情况。一种是你不会做，是因为你没有学好，做不出来；另一种情况是，你学好了，但缺少举一反三和综合能力，做不出来。大部分同学问题出在第二种。老师出这样的题目是有道理的。大家绝对不会做的题目，老师是不会出的，老师是在考大家举一反三，综合能力。你脑子要多绕几个弯子，多想几个为什么，就能做出来。
3、有这么一句话：兴趣是最好的老师。大家先把喜爱数学的兴趣培养出来，就能学好。
如何学好数学之二
学好数学的方法其实跟读其他科目没太大差别，流程上可区分为六个步骤：
1. 预习
2. 专心听讲
3. 课后练习
4. 测验
5. 侦错、补强
6. 回想
以下就每一个步骤提出应注意事项，提供同学们参考。
1. 预 习 : 在课前把老师即将教授的单元内容浏览一次，并留意不了解的部份。
2. 专心听讲:
(1)新的课程开始有很多新的名词定义或新的观念想法，老师的说明讲解绝对比同学们自己看书更清楚，务必用心听，切勿自作聪明而自误。 若老师讲到你早先预习时不了解的那部份，你就要特别注意。 有些同学听老师讲解的内容较简单，便以为他全会了，然后分心去做别的事，殊不知漏听了最精彩最重要的几句话，那几句话或许便是日后测验时答错的关键所在。
(2)上课时一面听讲就要一面把重点背下来。定义、定理、公式等重点，上课时就要用心记忆，如此，当老师举例时才听得懂老师要阐述的要义。
待回家后只需花很短的时间，便能将今日所教的课程复习完毕。事半而功倍。只可惜大多数同学上课像看电影一般，轻松地欣赏老师表演，下了课什麼都不记得，白白浪费一节课，真可惜。
3. 课后练习 :
(1) 整理重点
有数学课的当天晚上，要把当天教的内容整理完毕，定义、定理、公式该背的一定要背熟，有些同学以为数学著重推理，不必死背，所以什麼都不背，这观念并不正确。一般所谓不死背，指的是不死背解法，但是基本的定义、定理、公式是我们解题的工具，没有记住这些，解题时将不能活用他们，好比医师若不将所有的医学知识、用药知识熟记心中，如何在第一时间救人。很多同学数学考不好，就是没有把定义认识清楚，也没有把一些重要定理、公式”完整地〃背熟。
(2) 适当练习
重点整理完后，要适当练习。先将老师上课时讲解过的例题做一次，然后做课本习题，行有余力，再做参考书或任课老师所发的补充试题。遇有难题一时解不出，可先略过，以免浪费时间，待闲暇时再作挑战，若仍解不出再与同学或老师讨论。
(3) 练习时一定要亲自动手演算。很多同学常会在考试时解题解到一半，就接不下去，分析其原因就是他做练习时是用看的，很多关键步骤忽略掉了。
4. 测验 :
(1) 考前要把考试范围内的重点再整理一次，老师特别提示的重要题型一定要注意。
(2) 考试时，会做的题目一定要做对，常计算错误的同学，尽量把计算速度放慢， 移项以及加减乘除都要小心处理，少使用“心算” 。
(3) 考试时，我们的目的是要得高分，而不是作学术研究，所以遇到较难的题目不要 硬干，可先跳过，等到试卷中会做的题目都做完后，再利用剩下的时间挑战难题，如此便能将实力完全表现出来，达到最完美的演出。
(4) 考试时，容易紧张的同学，有两个可能的原因：
a. 准备不够充分，以致缺乏信心。这种人要加强试前的准备。
b. 对得分预期太高，万一遇到几个难题解不出来，心思不能集中，造成分数更低。这种人必须调整心态，不要预期太高。
5. 侦错、补强 :
测验后，不论分数高低，要将做错的题目再订正一次，务必找出错误处，修正观念，如此才能将该单元学的更好。
6. 回想：
一个单元学完后，同学们要从头到尾把整个章节的重点内容回想一遍，特别注意标题，一般而言，每个小节的标题就是该小节的主题，也是最重要的。将主题重点回想一遍，才能完整了解我们在学些什麼东西。

学习一元二次方程的好方法，和二次根式

一元二次方程的解法
一、知识要点：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基
础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2
的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解
法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程，其解为x=m± .
例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11》0，所以
此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
（2）解： 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=
当b2-4ac≥0时，x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2
将二次项系数化为1：x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2
配方：(x-)2=
直接开平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项
系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24》0
∴x= = =
∴原方程的解为x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)解：6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结：
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般
形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式
法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程
是否有解。
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
例5．用适当的方法解下列方程。(选学）
（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0
（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差
公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。
（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。
（3）化成一般形式后利用公式法解。
（4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。
（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0
=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
（2）解： x2+(2- )x+ -3=0
(x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3，x2=1
（3）解：x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4》0
∴x=
∴x1=,x2=
（4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学）
分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我
们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方
法）
解：=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0
解：x2+px+q=0可变形为
x2+px=-q (常数项移到方程右边)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
(x+)2= (配方)
当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论）
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
当p2-4q《0时，《0此时原方程无实根。
说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母
取值的要求，必要时进行分类讨论。
练习：
（一）用适当的方法解下列方程：
1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
（二）解下列关于x的方程
1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0
练习参考答案：
（一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式）
=0
即 (2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
（二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0
=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是
原方程的解。 原方程的解。
测试
选择题
1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ）
A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
2．多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（ ）。
A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7
3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个
根是（ ）。
A、0 B、1 C、-1 D、±1
4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）。
A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0
C、b=0且c=0 D、c=0
5． 方程x2-3x=10的两个根是（ ）。
A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5
6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。
A、 B、 C、 D、无实根
7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。
A、x= B、x=-
C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-
8． 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）。
A、(x-)2= B、(x- )2=-
C、(x- )2= D、以上答案都不对
9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（ ）。
A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1
答案与解析
答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
解析：
1．分析：移项得：(x-5)2=0，则x1=x2=5,
注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。
2．分析：依题意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.
3．分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时， ax2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1
时，方程成立，则必有根为x=1。
4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零，
则ax2+bx+c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以 c=0.
另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单！
5．分析：原方程变为 x2-3x-10=0,
则(x-5)(x+2)=0
x-5=0 或x+2=0
x1=5, x2=-2.
6．分析：Δ=9-4×3=-3《0，则原方程无实根。
7．分析：2x2=0.15
x2=
x=±
注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。
8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2，
整理为：(x-)2=
方程可以利用等式性质变形，并且 x2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。
9．分析：x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1
则(x-1)2=m+1.
中考解析
考题评析
1．（甘肃省）方程的根是（ ）
（A） （B） （C） 或 （D） 或
评析：因一元二次方程有两个根，所以用排除法，排除A、B选项，再用验证法在C、D选项中选出正确
选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元
二次方程是两个根，所以是错误的，而选项D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是错误的。正确选项为
C。
另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式，使得方程丢根，这种错误要避免。
2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。
评析：思路，根据方程的特点运用因式分解法，或公式法求解即可。
3．（辽宁省）方程的根为（ ）
（A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1
评析：思路：因方程为一元二次方程，所以有两个实根，用排除法和验证法可选出正确选项为C，而A、
B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。
4．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2，那么k=__________。
评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去，构造成关于k的一元二次方程，然后求解。
5．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（ ）
（A）x=3+2 （B）x=3-2
（C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2
评析：用解方程的方法直接求解即可，也可不计算，利用一元二次方程有解，则必有两解及8的平方
根，即可选出答案。
课外拓展
一元二次方程
一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二
次的整式方程。 一般形式为
ax2+bx+c=0, (a≠0)
在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它
的倒数之和等于 一个已给数，即求出这样的x与，使
x=1, x+ =b,
x2-bx+1=0,
他们做出( )2；再做出 ，然后得出解答：+ 及 - 。可见巴比伦人已知道一元二次
方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数，所以负根是略而不提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax2=b。
在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。
希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中
之一。
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一个求根公
式。
在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种
不同的形式，令 a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成
不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一 次
给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的
数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。
韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。
我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x2+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学
家还在方程的研究中应用了内插法。